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El aparato matemático de la teoría del caos es
singularmente sofisticado, a tal punto que la propia teoría
no hubiera podido alcanzar un desarrollo como el que ostenta
sin ayuda de una herramienta de cálculo potente, como
las computadoras modernas. Sin embargo, ese mismo aparato matemático,
abstruso como el que más para los legos, ha engendrado
objetos abstractos capaces de atizar la imaginación fuera
de las fronteras disciplinarias.
Esos objetos abstractos habitan un espacio no menos abstracto:
el espacio de las fases, que permite representar, por medio de
ejes de coordenadas, cómo varía el comportamiento
de un sistema a medida que transcurre el tiempo. Se genera así
una «trayectoria» gráfica (una curva), que
sirve para dar cuenta de la evolución de cualquier característica
de un sistema que varíe en el tiempo: desde
la población de crustáceos en el Mediterráneo
hasta la cotización del dólar.
Los sistemas dinámicos pueden ser «conservativos»
(su energía total se mantiene constante) o «disipativos»,
cuya energía va disminuyendo por fricciones y otros efectos,
y que presentan una característica interesante: tienen
lo que se ha dado en llamar atractores.
Un ejemplo clásico de sistema disipativo es un péndulo:
si se le da impulso, el péndulo oscilará pero su
movimiento se irá amortiguando hasta que
al cabo de cierto tiempo se detendrá. Este comportamiento
queda representado gráficamente como una trayectoria en
espiral, que termina en un punto. Ese punto, que corresponde
a la posición final de reposo (posición cero, velocidad
cero), es un atractor: hacia él se dirige, inexorablemente,
la trayectoria de cualquier péndulo que no reciba energía
adicional permanente.
En un péndulo que recibe energía, el comportamiento
queda representado gráficamente por una curva cerrada
(una elipse). Si al péndulo se le da un impulso mayor
lo va disipando de modo gradual, y si se lo frena va recibiendo
energía de su fuente, por lo que en ambos casos regresa
finalmente a su ritmo original, que corresponde a esa única
curva cerrada. Aparece así otro tipo de atractor: el sistema,
en lugar de ser atraído a un punto fijo, es llevado a
una trayectoria en forma de curva cerrada, que recibe el nombre
de «ciclo límite».
Tanto el punto fijo como el ciclo límite son atractores
de estructura simple, que corresponden a comportamientos predecibles
de los sistemas. Dos trayectorias del mismo sistema que difieran
en sus condiciones iniciales irán convergiendo, a medida
que pasa el tiempo, hacia el atractor, sea éste un punto
o una curva cerrada. Ahora bien, cuando un sistema dinámico
presenta un comportamiento caótico,
y muestra por lo tanto sensibilidad a las condiciones iniciales,
dos trayectorias que parten muy próximas en el espacio
de las fases divergen rápidamente, alejándose cada
vez más.
En este caso, se habla de «atractor extraño»,
cuya característica esencial es la amplificación
de los apartamientos, por mínimos que sean, entre trayectorias.
A diferencia del punto fijo y del ciclo límite, un atractor
extraño tiene una estructura muy complicada, que debe
reflejar dos tendencias opuestas: al tratarse de un atractor,
las trayectorias vecinas deben converger hacia él, pero
por tratarse de un caso de sensibilidad a las condiciones iniciales,
las trayectorias deben, al mismo tiempo, diverger distanciándose
cada vez más. A esto se debe sumar otra condición,
llamada «condición de determinismo»: las curvas
formadas por las trayectorias no pueden cruzarse tocándose
en un punto, puesto que de otro modo, a partir de ese punto habría
dos curvas, esto es dos comportamientos diferentes de un mismo
sistema, simultáneamente.
De estas condiciones resulta un atractor muy difícil de
visualizar, cuya forma no puede estar sobre una superficie, ya
que de ser así llegaría un momento en que las trayectorias,
al no ser paralelas, forzosamente se cruzarían. Este atractor
debe pues tener más de dos dimensiones, que son las que
corresponden a una superficie. Pero un atractor no puede ocupar
la totalidad del espacio de las fases, y por lo tanto debe tener
al mismo tiempo menos de tres dimensiones.
Un atractor extraño es entonces una figura geométrica
de dimensión mayor que 2 y menor que 3, o sea una situación
intermedia entre una superficie y un volumen.
Para concebirla es preciso salir de la geometría de Euclides,
donde las dimensiones son números enteros, para dar
cabida a formas irregulares o fragmentadas que puedan ser caracterizadas
con dimensiones que no lo sean.
El matemático Benoît Mandelbrot bautizó a
estas dimensiones con el nombre de fractales.
En resumen, si el comportamiento de un sistema dinámico
es caótico, su trayectoria en el espacio de las fases
se contrae porque hay un atractor, se estira a causa de la sensibilidad
a las condiciones iniciales, y forma una curva que, por lo tanto,
se estira y al mismo tiempo se pliega y repliega al infinito,
a la manera de una masa de hojaldre, ocupando un volumen restringido
y generando una figura
de dimensión no entera. El complejo objeto matemático
que resulta de todas estas condiciones es la forma que asume
un atractor extraño: una curva fractal.
Una forma fractal tiene una característica básica
que contribuye a reconocerla y que se llama propiedad de autosemejanza,
lo cual quiere decir que dicha forma consiste en un motivo que
se repite a sí mismo a cualquier escala que se lo observe.
Por mayor que sea el aumento con que se examine un fractal, se
verá siempre una misma estructura.
A pesar de ser muy complejos en virtud de su detalle infinito,
los fractales pueden ser generados por procedimientos relativamente
simples. El matemático sueco H. von Koch propuso, en 1904,
una curva que cumple los requisitos para ser un fractal y que
se construye sencillamente. Se parte de un segmento de recta
de longitud 1 y en su tercio medio se construye un triángulo
equilátero. La longitud de la línea es ahora 4/3.
Si se repite la operación se obtiene la figura con una
longitud (4/3)², o 16/9, y reiterándola infinitas
veces se llega a una forma fractal de longitud infinita y cuyos
extremos están separados, sin embargo, por la misma distancia
que el segmento inicial de longitud 1.
Con el mismo método pero a partir de un triángulo
equilátero, se construye lo que se ha dado en llamar el
«copo de nieve» de Koch, cuyo perímetro se
hace infinito al repetir infinitas veces la misma operación,
pero la figura hexagonal que encierra mantiene un área
perfectamente limitada.
* Publicado
originalmente en Insomnia, Nº 3
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