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“Sólo dos cosas son infinitas, el Universo y
la
estupidez humana, y de la primera
no estoy seguro”.
Albert Einstein
Resumen
Se realiza una exposición sobre el concepto de infinito matemático y
se alude a la clasificación de infinito actual e infinito potencial,
así como se presentan ejemplos de secuencias, magnitudes y entes
geométricos infinitos.
Introducción
Mucho se utiliza el vocablo “infinito” en el habla común y con más
frecuencia en el lenguaje literario, pero muy pocas veces con su
significado preciso. En un diccionario de la lengua aparece como
primera acepción de “infinito” la que se aviene con la etimología:
lo que no tiene fin. La palabra infinito la aplicamos la mayoría de
las veces incorrectamente, como sinónimo de muy grande o de algo de
lo que no percibimos su terminación. En el presente trabajo me
referiré al infinito en su primera acepción o sea como lo que no
tiene final. Como antes dije se suele calificar de infinito a lo que
es inmensamente grande, así del universo se dice que es infinito y
aunque algunas hipótesis como tal cosa lo tienen, teorías como la
Teoría General de la Relatividad de Einstein, lo consideran
finito
Desarrollo
La idea de infinito se nos presenta con mayor claridad al fijarnos
en conjuntos como el de los números naturales 1,2,3… cuya serie no
tiene final. En los conjuntos infinitos como éste, se presentan
paradojas como la de que, por ejemplo, los números pares, los cuales
por supuesto no son todos los números naturales, también son
infinitos. Y a cada número natural le corresponde un número par. Con
lo cual paradójicamente hay tantos números pares como números
naturales siendo los pares sólo una parte de los números naturales.
De los conjuntos cuyos elementos pueden colocarse en correspondencia
uno a uno sin que sobre ninguno, esto es en correspondencia
biunívoca o biyectiva, se dice que tienen la misma cardinalidad, La
cardinalidad sólo depende del número de elementos del conjunto y no
de su ordenamiento. El número de elementos se designa por el
cardinal de ese conjunto. Por ejemplo el número cardinal de los
conjuntos coordinables uno a uno con los conjuntos de cardinalidad
cuatro es el 4. Cuando se trata de conjuntos infinitos al cardinal
se le denomina cardinal transfinito. De modo que así considerado hay
el mismo número cardinal transfinito de números pares que de números
naturales en total. Ese número cardinal transfinito lo representan
los matemáticos con la letra hebrea aleph,
el Aleph de la narración de
Borges. Me parece de interés a esta altura de mi trabajo aludir
al concepto de número ordinal. Lo haré mediante un ejemplo ya que la
definición rigurosa es algo complicada. El conjunto {0,1,2,3}
corresponde al número ordinal 4 (cuarto) porque: a) su cardinalidad
es 4 y b) 0<1<2<3. A
Borges le atraía con singular fuerza el infinito, se advierte en
narraciones como la citada y otras como “La muerte y la brújula”. En
dicho cuento Borges alude sin nombrarla, a la famosa Paradoja de
Zenón de Elea o Paradoja de la Dicotomía.
En su paradoja, Zenón argumentaba que nada ni nadie podría recorrer
completamente un segmento de recta AB, esto es, saliendo de A nadie
podría llegar a B. pues primero tendría que recorrer AC=AB/2,
después AD=AC/2 luego AE=AD/2, y así infinitas dicotomías que no
permitirán recorrer la totalidad del segmento. Al ir tendiendo a
cero la longitud de la distancia, el número de dicotomías se hace
infinito, el valor de una fracción cuyo denominador tiende cero se
hace infinito. No obstante en matemática se establece que la
división por cero no está definida. En la narración un detective
analítico al estilo del Dupin de Edgar A.
Poe, plantea a quien pretende asesinarlo, que recorra hasta
llegar a él un segmento mediante las dicotomías de Zanón con el
propósito (ignorado por su enemigo) de que
nunca lo alcance. Atendiendo al concepto de límite del Cálculo
Infinitesimal, se infiere que la Paradoja de Zenón de Elea
niega el movimiento y es por eso que en lenguaje común, a la
tendencia al inmovilismo se le llama eleatismo.
Un argumento similar al de la Paradoja de la Dicotomía de
Zenón, lo utilizó el escritor Arthur Schnitzler en su novela
Flight to the Darkness, en la cual un personaje sostiene que la
muerte no existe, ya que en el
último momento se vuelve a vivir a vertiginosa velocidad toda la
vida, pero a su vez esa vida rememorada tendrá su propio último
momento y así sucesivamente, de modo que se vivirá eternamente. De
acuerdo con la teoría de los límites del Cálculo Infinitesimal,
cada cual se aproxima a la
muerte mas no la
alcanza. Asociado a nuestro tema del infinito, considero oportuno
recordar un filme de los catalogables como de
ciencia ficción serio que se
exhibió hace unos años, titulado Moebius en el que se toma
una de las alusiones matemáticas mas ingeniosas a la vez que
rigurosa al concepto de infinito. Para entender el filme se hace
necesario explicar las características de una figura geométrica
espacial llamada Cinta de Moebius de la cual paso a describir
como se construye: de una tira de papel en forma de rectángulo
estrecho y alargado, se toman sus extremos con el objeto de unirlos
para formar un aro, pero antes de pegarlos, le damos una pequeña
torsión a uno de los extremos de modo que su parte inferior pase a
ser la superior y entonces los pegamos con goma. Tendremos formada
la Cinta de Moebius. Esa cinta tiene una sola cara y no dos
como tendría de no estar unidos sus extremos como dije, o como las
tiene una hoja de papel cualquiera. Para comprobar esa insólita
propiedad, se toma un bolígrafo y desde un punto cualquiera de la
cinta se va trazando una línea paralela a sus bordes la cual se va
prolongando a lo largo de la cinta hasta que vuelva al punto de
partida. Podrá comprobarse que recorre toda la cinta sin que quede
una porción de la misma sin recorrer y sin tener que pasar por el
borde de una cara a la otra por la sencilla razón de que sólo tiene
una cara. En el filme se presenta una línea de subway o tren
subterráneo en la cual los vagones ruedan y ruedan sin encontrar
tope alguno porque esa línea tiene la forma de una Cinta de
Moebius. Los pasajeros viajan eternamente sin llegar a paradero
alguno. Su viaje no tiene fin su viaje es infinito. Vista de perfil
la Cinta de Moebius, recuerda la curva llamada Lemniscata
de Bernouilli, curiosamente la forma del símbolo ∞ de infinito.
Del infinito, Aristóteles decía que “aniquilaba” los números,
refiriéndose a lo que ahora se acepta acerca de que el producto de
cualquier número por infinito es infinito: n×∞=∞. También la
suma con infinito es aniquilante en el decir de Aristóteles. El
concepto de infinito se hace más preciso y aceptable por el
intelecto en otras partes de las matemáticas.
Según la Teoría de
los Conjuntos de Georg Cantor, existe lo que se llama el
infinito actual, algo ya dado como idea que la inteligencia puede
captar. El infinito actual lo podemos comprender al pensar en la ya
citada serie de los números enteros y positivos: 1, 2, 3, etc., que
nuestra mente acepta que no tendrá final, sin que tenga que realizar
experimento alguno, el cual por demás es imposible.
La idea del infinito actual la aceptan
los llamados platonistas y los logicistas como Friedrich Ludwig
Gottlob Frege y Bertrand Russell. Russell define el número infinito
como una clase reflexiva, lo cual quiere decir que se corresponde
término a término a una parte propia de la misma. Así A es un
conjunto infinito si siendo B un subconjunto propio de A, existe una
correspondencia biunívoca entre A y B. Un ejemplo de reflexibilidad
según el filósofo norteamericano Josiah Royce sería un mapa perfecto
de Inglaterra dibujado sobre el suelo de ese país, pues el mismo a
su vez tendría dibujado ese tipo de mapa y así en un proceso
teóricamente sin final. Se nos ocurre que una maqueta perfecta de
una ciudad situada en un lugar de la misma, sería un buen ejemplo de
reflexiblidad para mostrar el concepto de infinito. Bernhard Bolzano
proponía, en su tiempo, una idea semejante a la de Russell y Royce
de clase reflexiva como concepto de infinito. Cantor en sus
reflexiones místicas relacionaba el concepto de infinito a la idea
de Dios a quien
asimilaba con la ideal existencia de un último ordinal simbolizado
por Ω a su vez relacionado con el concepto cantoriano de Infinito
Absoluto. El Infinito Absoluto de cierta manera recuerda
la Idea Absoluta de Hegel.
Similares reflexiones que lindan con
lo teológico, pero ya no para el infinito matemático, sino para lo
Infinito en abstracto, hacía San Agustín, Obispo de Hipona, en la
Edad Media. San Anselmo en su Principio Ontológico
(conocido como Prueba Ontológica de la Existencia de
Dios),
de cierta manera defiende el concepto de infinito actual al decir
“Si la realidad es lo infinito, lo es en estos momentos”. La teoría
de Cantor sobre todo en lo que respecta al infinito, fue dura y
fanáticamente criticada por Leopold Kronecker, lo cual le ocasionó
una lamentable crisis depresiva a su genial autor. Todo ocurrió a
finales del siglo XIX y principios del XX.
El infinito se evidencia también mediante fracciones como 4/3 que al
pasarla a decimales dividiendo 4 entre 3 se obtiene 1,3333… y la
cifra 3 se repite una y otra vez sin que podamos esperar que alguna
vez tenga final esa reiteración. El 3 se repite infinitamente. Sin
embargo, los matemáticos que sostienen la tesis de que el infinito
actual no existe y sí el infinito potencial aducen que lo que ahora
observamos como que no tiene final, tal es el caso del valor de la
relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, el
famoso valor π, del cual se han calculado
una enorme cantidad de cifras decimales sin que aparezca el valor
exacto, pudiera ocurrir, dicen estos matemáticos, que si se sigue
buscando quizás aparezca la cifra final y π
deje de ser una evidencia del infinito. Sobre la idea de los dos
infinitos ya Aristóteles en sus reflexiones sobre el concepto de
infinito consideraba la existencia de las dos citadas variantes.
Claro está que en el caso de π donde no se
encuentra ninguna regularidad en la aparición de las cifras
decimales como se observa en su conocido valor aproximado 3,14159…,
alguien podría tener la esperanza de que un día aparezca la cifra
final, pero no creo que los partidarios del infinito potencial como
único infinito, esperen que de momento el valor que antes vimos de
4/3 esto es, 1,3333…deje de repetir el 3 y aparezca la cifra final
que eche a perder nuestro ejemplo de infinito ¡y el Principio de San
Anselmo!
Conclusiones
Ironías aparte, creo que detenernos a meditar sobre cosas
interesantes a la vez que importantes para el riguroso tratamiento
de la ciencia, como es el concepto de infinito, nos permite
ejercitar la mente en asuntos positivos, cosa útil ante la tendencia
a ocuparnos de lo banal que a veces se nos propone.
Bibliografía
Larson, R. 2007. Calculus,
Houghton Mifflin Company. New York.
González, J. 2001 Ciencia, Arte, y Literatura. Ediciones Holguín.
González, J. 2003. Ciencia, Literatura, Arte...y Filosofía. Libro
virtual.
http://galeon.com/casanchi/lib/virtuales.htm
Borges, J. L. 1988, Páginas Escogidas. Casa de las Américas. La
Habana.
Ortiz, J. R. 1994. El Concepto de Infinito. Asociación Matemática
Venezolana. Boletín. Vol. 1. Número 2. |
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